4. 周期性

関数 \(f(x)\) が次の関係を満たすとき

\[f(x + a) = f(x)\]

\(f(x)\) は周期 \(a\) を持つという。 結晶の場合を考えると、例えば電子密度やポテンシャルなどは、任意の格子ベクトル

\[\boldsymbol{R} \equiv n_1 \boldsymbol{a}_1 + n_2 \boldsymbol{a}_2 + n_3 \boldsymbol{a}_3\]

に対して

(4.1)\[\rho(\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R}) = \rho(\boldsymbol{r})\]

が成り立っていると考えられる。

4.1. フーリエ級数表示

一般に、(4.1) のような周期関数は以下のフーリエ級数表示

\[\rho(\boldsymbol{r}) = \sum_{\boldsymbol{G}} \rho(\boldsymbol{G}) \exp\left( {i\boldsymbol{G}\! \cdot\! \boldsymbol{r}} \right)\]

が可能である。(4.1) を確かめると

\[\begin{split}\rho(\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R}) &= \sum_{\boldsymbol{G}} \rho(\boldsymbol{G}) \exp\left( {i\boldsymbol{G}\! \cdot\! \boldsymbol{r}} \right) \exp\left( {i\boldsymbol{G}\! \cdot\! \boldsymbol{R}} \right) \\ &= \sum_{\boldsymbol{G}} \rho(\boldsymbol{G}) \exp\left( {i\boldsymbol{G}\! \cdot\! \boldsymbol{r}} \right) \\ &= \rho(\boldsymbol{r})\end{split}\]