5. ブロッホの定理

5.1. ブロッホの定理

３つの基本格子ベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\,\boldsymbol{a}_2,\,\boldsymbol{a}_3\) を用いて、実格子における並進ベクトル \(\boldsymbol{R} = n_1\boldsymbol{a}_1 + n_2\boldsymbol{a}_2 + n_3\boldsymbol{a}_3\) （ \(n_1,\,n_2,\,n_3\) は整数）を生成する。実空間において、結晶中の電子のポテンシャルエネルギー \(V(\boldsymbol{r})\) は、

(5.1)\[V(\boldsymbol{r + R}) = V(\boldsymbol{r})\]

という周期性をもつ。電子の波動関数を \(\psi(\boldsymbol{r})\) 、ハミルトニアンを \(H\) 、全エネルギーを \(E\) とすると、電子の従うシュレーディンガー方程式は、

(5.2)\[H\,\psi(\boldsymbol{r}) = E\,\psi(\boldsymbol{r})\]

となる。ハミルトニアンの中身は、電子の質量を \(m\) 、換算プランク定数を \(\hbar\) とすると、

(5.3)\[H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\boldsymbol{r})\]

である。このとき、電子の波動関数 \(\psi(\boldsymbol{r})\) の並進操作について、

(5.4)\[\psi(\boldsymbol{r + R}) = \exp(i\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{R})\,\psi(\boldsymbol{r})\]

の関係を満たす波数ベクトル \(\boldsymbol{k}\) が少なくとも１つ存在する。つまり、並進操作では固有状態は変化せず、位相が \(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{R}\) だけずれることになる。これをブロッホの定理と呼ぶ。