1. 格子ベクトルと逆格子ベクトル
1.1. 定義と性質
結晶の周期性および単位胞（Unit cell）を定める３つのベクトル
(1.1)\[\begin{split}\boldsymbol{a}_1 =
\begin{pmatrix}
a_{1}^x \\
a_{1}^y \\
a_{1}^z
\end{pmatrix}
, \quad
\boldsymbol{a}_2 =
\begin{pmatrix}
a_{2}^x \\
a_{2}^y \\
a_{2}^z
\end{pmatrix}
, \quad
\boldsymbol{a}_3 =
\begin{pmatrix}
a_{3}^x \\
a_{3}^y \\
a_{3}^z
\end{pmatrix}\end{split}\]
これを格子ベクトルと呼ぶ。格子ベクトルが実空間での周期性を表すのに対し、次の逆格子ベクトル
(1.2)\[\boldsymbol{b}_1 = 2\pi\frac{\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3}
{\boldsymbol{a}_1\cdot \left(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3\right)}
, \quad
\boldsymbol{b}_2 = 2\pi\frac{\boldsymbol{a}_3\times\boldsymbol{a}_1}
{\boldsymbol{a}_1\cdot \left(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3\right)}
, \quad
\boldsymbol{b}_3 = 2\pi\frac{\boldsymbol{a}_1\times\boldsymbol{a}_2}
{\boldsymbol{a}_1\cdot \left(\boldsymbol{a}_2\times\boldsymbol{a}_3\right)}\]
は、（フーリエ変換で移った先の）波数空間での周期性を表す。
格子ベクトルと逆格子ベクトルは、次の直交関係を満たす。
(1.3)\[\boldsymbol{a}_i \cdot \boldsymbol{b}_j = 2\pi\delta_{ij}\]
いま、格子ベクトルと逆格子ベクトルの成分を並べ、以下のような行列を作ってみる （これはカルテシアン座標と格子座標の間の座標変換の行列となっている）。
(1.4)\[\begin{split}A \equiv
\begin{pmatrix}
a_{1}^x & a_{2}^x & a_{3}^x \\
a_{1}^y & a_{2}^y & a_{3}^y \\
a_{1}^z & a_{2}^z & a_{3}^z \\
\end{pmatrix}
, \quad
B \equiv
\begin{pmatrix}
b_{1}^x & b_{2}^x & b_{3}^x \\
b_{1}^y & b_{2}^y & b_{3}^y \\
b_{1}^z & b_{2}^z & b_{3}^z \\
\end{pmatrix}\end{split}\]
式 (1.3) の直交性から、行列の積として
(1.5)\[\begin{split}A^\top B
=
\begin{pmatrix}
a_{1}^x & a_{1}^y & a_{1}^z \\
a_{2}^x & a_{2}^y & a_{2}^z \\
a_{3}^x & a_{3}^y & a_{3}^z \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{1}^x & b_{2}^x & b_{3}^x \\
b_{1}^y & b_{2}^y & b_{3}^y \\
b_{1}^z & b_{2}^z & b_{3}^z \\
\end{pmatrix}
= 2\pi I\end{split}\]
となることがわかる。これから、\(A, B\) の逆行列は、互いの転置行列となることがわかる。
(1.6)\[A^{-1} = \frac{1}{2\pi}B^\top
, \quad
B^{-1} = \frac{1}{2\pi}A^\top\]
1.2. 格子ベクトルの独立な成分
式 (1.1) は9つの成分を持っているが、 たんに物理系を記述するだけの目的であれば、系全体の並進と回転の自由度を取り除いた6つの成分で十分である。 例えば結晶構造データの国際的なフォーマットであるCIF（Crystallographic Information File）では
_cell_length_a 3.84928
_cell_length_b 3.84928
_cell_length_c 3.84928
_cell_angle_alpha 60.00000
_cell_angle_beta 60.00000
_cell_angle_gamma 60.00000
のように、格子ベクトルの長さと、それぞれのベクトルのなす角度、という情報だけが記録されている。式 (1.1) との対応を明示すれば
\[a = \|\boldsymbol{a}_1\|
, \quad
b = \|\boldsymbol{a}_2\|
, \quad
c = \|\boldsymbol{a}_3\|\]
(1.7)\[\alpha = \arccos\left(\frac{\boldsymbol{a}_2\cdot\boldsymbol{a}_3}{\|\boldsymbol{a}_2\|\|\boldsymbol{a}_3\|}\right)
, \quad
\beta = \arccos\left(\frac{\boldsymbol{a}_3\cdot\boldsymbol{a}_1}{\|\boldsymbol{a}_3\|\|\boldsymbol{a}_1\|}\right)
, \quad
\gamma = \arccos\left(\frac{\boldsymbol{a}_1\cdot\boldsymbol{a}_2}{\|\boldsymbol{a}_1\|\|\boldsymbol{a}_2\|}\right)\]
となる。