行列および行列式の公式
逆行列の公式（１）
(6)\[\boldsymbol{I} - \left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} \right)^{-1} \boldsymbol{A}
= \left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} \right)^{-1}
\left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} - \boldsymbol{A} \right)
= \left( \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} \right)^{-1} \boldsymbol{B}\]
ブロック行列の逆行列 [1]
\[\begin{split}\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \\
\end{pmatrix}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{M} & -\boldsymbol{MBD}^{-1} \\
\boldsymbol{-D}^{-1}\boldsymbol{CM} & \boldsymbol{D}^{-1}+\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{CMBD}^{-1} \\
\end{pmatrix}\end{split}\]
\[\boldsymbol{M}
=
\left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{BD}^{-1}\boldsymbol{C}
\right)^{-1}\]
上記の公式を用いて、ガウス分布の共分散行列の計算で現れるケースを示しておく
\[\begin{split}\boldsymbol{R}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda} + \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{LA} &
-\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{L} \\
\boldsymbol{-LA} &
\boldsymbol{L}
\end{pmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\boldsymbol{R}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\Lambda}^{-1} &
\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \boldsymbol{A}^\top \\
\boldsymbol{A}\boldsymbol{\Lambda}^{-1} &
\boldsymbol{L}^{-1} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}^{-1}\boldsymbol{A}^\top \\
\end{pmatrix}\end{split}\]
ブロック行列の行列式
\(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{D}\) を正方行列とする。このとき、 \(\boldsymbol{A}\) が正則であれば
\[\begin{split}\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D-CA^{-1}B}
\end{vmatrix}\end{split}\]
\(\boldsymbol{D}\) が正則であれば
\[\begin{split}\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{D}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A-BD^{-1}C}
\end{vmatrix}\end{split}\]
となる。
ガウス分布の周辺分布の計算で現れる以下のケースを示しておく。
\[\begin{split}\begin{vmatrix}
\boldsymbol{S}^{-1}_{1} & -\beta\boldsymbol{\Phi}^\top \\
-\beta\boldsymbol{\Phi} & \beta\boldsymbol{I} \\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{S}^{-1}_{1}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\beta\boldsymbol{I} - \beta^2\boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{S}_{1} \boldsymbol{\Phi}^\top
\end{vmatrix}\\
&=
\begin{vmatrix}
\beta\boldsymbol{I}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{S}^{-1}_0 + \beta\boldsymbol{\Phi}^\top\boldsymbol{\Phi}
- \beta\boldsymbol{\Phi}^\top \beta^{-1} \beta\boldsymbol{\Phi}
\end{vmatrix}
=
\beta^N
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{S}^{-1}_0
\end{vmatrix}\end{split}\]
ここで
\[\boldsymbol{S}^{-1}_{1}
=
\boldsymbol{S}^{-1}_0 + \beta\boldsymbol{\Phi}^\top\boldsymbol{\Phi}\]
である。